Bài tập nguyên hàm có lời giải chi tiết

Toán học giới thiệu bài tập vận dụng từ bảng công thức nguyên hàm:

Bài tập nguyên hàm có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)$.

A. $\int {f(x)dx = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} $.

B. $\int {f(x).dx = \sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} $.

C. $\int {f(x)dx = – \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} $.

D. $\int {f(x)dx = \frac{1}{6}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C} $.

Hướng dẫn giải

$f(x) = {e^x}(3 + {e^{ – x}})$. $\begin{array}{l} \int {f(x)dx} \\ = \frac{1}{3}\int {\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)d\left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)} \\ = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C \end{array}$

Bài tập 2. Họ nguyên hàm của hàm số là

A. $F(x) = 3{e^x} + x + C$.

B. $F(x) = 3{e^x} + {e^x}\ln {e^x} + C$.

C. $F(x) = 3{e^x} – \frac{1}{{{e^x}}} + C$.

D. $F(x) = 3{e^x} – x + C$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} F(x) = \int {{e^x}(3 + {e^{ – x}})} dx\\ = \int {(3{e^x} + 1)dx} \\ = 3{e^x} + x + C \end{array}$

Bài tập 3. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{x}} – 1} }}$ là

A. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \sqrt {2{\text{x}} – 1} + C$.

B. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = 2\sqrt {2{\text{x}} – 1} + C$.

C. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \frac{{\sqrt {2{\text{x}} – 1} }}{2} + C$.

D. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = – 2\sqrt {2{\text{x}} – 1} + C$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}d{\rm{x}}} \\ = \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}} \\ = \sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C \end{array}$

Bài tập 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {5 – 3{\text{x}}} $.

A. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = – \frac{2}{9}\left( {5 – 3{\text{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\text{x}}} + C$.

B. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = – \frac{2}{3}\left( {5 – 3{\text{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\text{x}}} $.

C. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \frac{2}{9}\left( {5 – 3{\text{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\text{x}}} $.

D. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = – \frac{2}{3}\sqrt {5 – 3{\text{x}}} + C$.

Hướng dẫn giải

Đặt $t = \sqrt {5 – 3{\text{x}}} \Rightarrow d{\text{x}} = – \frac{{2t{\text{d}}t}}{3}$

$\int {\sqrt {5 – 3{\text{x}}} d{\text{x}} = – \frac{2}{9}\left( {5 – 3{\text{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\text{x}}} + C} $.

Bài tập 5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{e^{3{\text{x}}}}} $.

A. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\text{x}}}}} }}{3} + C$

B. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \frac{3}{{2\sqrt {{e^{3{\text{x}}}}} }} + C$

C. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \frac{{3\sqrt {{e^{3{\text{x}}}}} }}{2} + C$

D. $\int {f\left( x \right)d{\text{x}}} = \frac{{2{e^{\frac{{3{\text{x}} + 2}}{2}}}}}{{3{\text{x}} + 2}} + C$

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \int {\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} d{\rm{x}}} \\ = \frac{2}{3}\int {{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}}.d\left( {\frac{{3{\rm{x}}}}{2}} \right)} \\ = \frac{2}{3}.{e^{\frac{{3{\rm{x}}}}{2}}} + C = \frac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C \end{array}$

Bài tập 6. Hàm số $f(x) = {x^3} – {x^2} + 3 + \frac{1}{x}$ có nguyên hàm là

A. $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C$.

B. $F(x) = {x^4} – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C$.

C. $F(x) = 3{x^2} – 2x – \frac{1}{{{x^2}}} + C$.

D. $F(x) = {x^4} – {x^3} + 3x + \ln \left| x \right| + C$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} F(x) = \int {({x^3} – {x^2} + 3 + \frac{1}{x})dx} \\ = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C \end{array}$

Bài tập 7. Hàm số $F(x) = 7\sin x – \cos x + 1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A.$f\left( x \right) = \sin x + 7\cos x$.

B.$f\left( x \right) = – \sin x + 7\cos x$.

C.$f\left( x \right) = \sin x – 7\cos x$.

D.$f\left( x \right) = – \sin x – 7\cos x$.

Hướng dẫn giải

$F'(x) = 7\cos x + \sin x$

Bài tập 8. Kết quả tính $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} $ là

A.$\tan x – \cot x + C$.

B. $\cot 2x + C$.

C.$\tan 2x – x + C$.

D. $ – \tan x + \cot x + C$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\ = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \\ = \tan x – \cot x + C \end{array}$

Bài tập 9. Hàm số $F(x) = 3{x^2} – \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}} – 1$ có một nguyên hàm là

A.$f(x) = {x^3} – 2\sqrt x – \frac{1}{x} – x$.

B.$f(x) = {x^3} – \sqrt x – \frac{1}{x} – x$.

C. $f(x) = {x^3} – 2\sqrt x + \frac{1}{x}$.

D.$f(x) = {x^3} – \frac{1}{2}\sqrt x – \frac{1}{x} – x$.

Hướng dẫn giải

Ta có
$\begin{array}{l} \int {F(x)} dx\\ = \int {\left( {3{x^2} – \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}} – 1} \right)} dx\\ = {x^3} – 2\sqrt x – \frac{1}{{{x^2}}} – x + C \end{array}$

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *