Các dạng bài tập cấp số cộng

Trong bài thi toán tham khảo lần 1, lần 2 của BGD&ĐT năm 2020 đều có câu liên quan tới cấp số cộng.  Do kiến thức này được học từ lớp 11, sau 1 năm học sinh hay quên hoặc nhớ các công thức cấp số cộng không được chính xác. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết cũng như nhiều công thức giải nhanh

công thức cấp số cộng

A. Lý thuyết cấp số cộng

Hệ thống đầy đủ lý thuyết về CSC:

1. Cấp số cộng là gì?

Một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn mà hai phần tử kế tiếp nhau sai khác nhau một hằng số d thì dãy số đó gọi là cấp số cộng.

2. Hệ thống công thức cấp số cộng

Cho một dãy số có dạng: un = u1 + u2 + u3 + u3 +…un. Khi đó:

Công thức cấp số cộng: un+1 = un + d với n ∈ N*

  • Hai số hạng liên tiếp nhau trong dãy số là un, un+1.
  • công sai là d, với d = un+1 – un

Số hạng tổng quát: un = u1 + d(n – 1) với n ≥ 2

Công thức tính tổng cấp số cộng của n số hạng: ${S_n} = \frac{{({u_1} + {u_n})n}}{2}$ hoặc ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + d(n – 1)} \right]}}{2}$

3. Tính chất quan trọng

  • Ta có: un+1 – un = un+2 – un+1=> ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + {u_{n + 2}}}}{2}$ với n ≥ 2 hay un+1 – un+1 = 2un
  • Nếu như có 3 số bất kì m, n, q lập thành CSC thì 3 số đó luôn thỏa mãn m + q = 2n

B. Bài tập cấp số cộng có lời giải chi tiết

Bài tập 1. (Đề Tham Khảo L2 của BGD&ĐT 2020) Cho 1 cấp số cộng (un) biết rằng số hạng đầu u1 = 3; và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đó bằng

A. −6.

B. 6.

C. 3.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: un = u1 + d(n – 1)

  • u1 = 3
  • n = 2
  • u2 = 9

Khi đó: 9 = 3 + d(2 – 1) => d = 6

Kết luận: Công sai là d = 6 => chọn đáp án là B

Bài tập 2. Cho 1 cấp số cộng (un ) biết rằng số hạng đầu u1 = – 6; và số hạng u9 = 50. Hãy tìm công sai của cấp số cộng đó

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: un = u1 + d(n – 1)

  • u1 = – 6
  • n = 10
  • u9 = 50

Ta có – 6 + d(9 – 1) = 50 <=>d = 7

Chọn đáp án C

Bài tập 3. Cho 1 cấp số cộng (un) có công sai d = – 5 và số hạng thứ 6 là 10. Số hạng thứ thứ nhất của cấp số cộng băng bao nhiêu?

A. 40

B. 35

C. 30

D.  45

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định số hạng tổng quát: un = u1 + d(n – 1)

  • d = – 5
  • n = 6
  • u6 = 10

Ta có 10 = u$_1$ + (-5).(6 – 1) => u$_1$ = 35

Chọn đáp án B

Bài tập 3. Cho 1 cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = 2. Tổng 3 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là

A. 5

B. 8

C. 9

D. 12

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: ${S_n} = \frac{{2{u_1} + d(n – 1)}}{2}n$

  • u1 = 1
  • d = 2
  • n = 15

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 3 số hạng đầu: ${S_n} = \frac{{2.1 + 2(3 – 1)}}{2}.3 = 9$

Chọn đáp án C.

Bài tập 4. Một cấp số cộng (un) biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 5, số hạng thứ 11 là u11 = 25. Hãy tính tổng 11 số hạng đầu tiên của dãy số này

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức ${S_n} = \frac{{({u_1} + {u_n})n}}{2}$

  • u1 = 5
  • u11 = 25
  • n =11

Dựa vào công thức trên, ta tính tổng 11 số hạng đầu: ${S_n} = \frac{{(5 + 25)}}{2}.11 = 165$

Bài tập 5. Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

A. 215 triệu

B. 15,5 triệu

C. 155 triệu

D. 60 triệu

Hướng dẫn giải

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (un) (triệu đồng)

Theo đề:

  • Quý đầu: u1 = 6
  • Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với ∀n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số un. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un).

Lương tháng quý 20 của công nhân: u20 = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng: ${S_{12}} = \frac{{20.\left( {6 + 15,5} \right)}}{2} = 215$ (triệu đồng)

Chọn đáp án A.

Trên đây là tổng hợp lý thuyết, công thức cấp số cộng và những bài tập kèm lời giải chi tiết. Nếu có khó khăn gì bạn có thể để lại câu hỏi ở bên dưới đề cùng trao đổi với Toanhoc.org

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *