Bạn đang cần một bộ đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán năm 2025 – Lần 2 từ Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội? Tài liệu dưới đây chính là lựa chọn lý tưởng dành cho bạn: đề thi bám sát cấu trúc chính thức, có đáp án chi tiết giúp học sinh tự ôn tập hiệu quả và nâng cao tư duy toán học. Được cập nhật mới nhất và biên soạn công phu, đề thi phù hợp cho học sinh lớp 9 đang bước vào giai đoạn “nước rút” chuẩn bị cho kỳ thi vào các lớp chuyên, đặc biệt là chuyên Toán.
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho các số dương \( a, b \). Chứng minh rằng: $ \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+2} < \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2} $
b) Trong một khu vườn nhỏ có 3 con thỏ và 3 cây cà rốt. Mỗi con thỏ sẽ chọn ngẫu nhiên một cây cà rốt để ăn. Tính xác suất để mỗi cây cà rốt được chọn bởi không quá một con thỏ (tức là không có hai con thỏ nào chọn cùng một cây cà rốt).
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình: $ \begin{cases} (x + y)(x^2 + y^2) = 567 \\ \sqrt{xy}(x + y)^2 = 243 \end{cases} $
b) Cho các số hữu tỉ dương \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện $ a + b + c = 2\sqrt{abc}. $
Chứng minh rằng \( S = \frac{bc – b – c}{a} \) là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn \( ABC \), nội tiếp đường tròn \( (O) \) và ngoại tiếp đường tròn \( (I) \). Đường tròn \( (I) \) tiếp xúc với các cạnh \( BC, CA, AB \) lần lượt tại \( D, E, F \). Đường tròn đường kính \( AI \) cắt đường tròn \( (O) \) tại điểm thứ hai \( K \) (khác \( A \)). Đường thẳng \( KD \) cắt lại đường tròn đường kính \( AI \) tại điểm thứ hai \( P \) (khác \( K \)). Giả sử các đường thẳng \( AK \) và \( BC \) cắt nhau tại \( Q \). Chứng minh rằng:
a) \( \triangle KEC \sim \triangle KFB \) và \( KD \) là phân giác của góc \( \angle BKC \).
b) \( AP \perp BC \).
c) \( IQ \) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( IBC \).
Câu 4. (2,0 điểm)
Một số nguyên dương được gọi là số giàu có nếu như tổng tất cả các ước số dương của nó lớn hơn hai lần số đó. Số nguyên dương mà không phải là số giàu có được gọi là số thiếu thốn. Chứng minh rằng:
a) Có vô số số thiếu thốn.
b) \( N = 6 \cdot 2^n \) là số giàu có với mọi số nguyên dương \( n \).
Câu 5. (1,0 điểm)
Trên bảng viết 1000 số nguyên liên tiếp. Trong mỗi lượt di chuyển, ta chia các số đã viết thành các cặp tùy ý, và thay thế mỗi cặp số bằng tổng và hiệu của chúng (không nhất thiết phải trừ số lớn hơn cho số nhỏ hơn; tất cả các phép thay thế diễn ra đồng thời). Hỏi, sau một số hữu hạn lần di chuyển như trên, trên bảng có thể xuất hiện dãy gồm 1000 số nguyên liên tiếp như ban đầu nữa hay không?