Hướng dẫn giải chi tiết các câu khó trong đề thi thử Toán 12 Sở Thanh Hóa 2025! Phân tích chuyên sâu, phương pháp tư duy đột phá giúp bạn chinh phục điểm cao trong kỳ thi THPT.
Câu 1. Cổng chính trường THPT Yên Định 2 có 2 cánh cửa kẽm, sơn tĩnh điện, bằng nhau và có hoạ tiết giống hệt nhau. Khi khép cửa tạo ra một đường khép kín ABGCDEF (như hình ảnh dưới).
Biết $AF=DE=2,7\left( m \right);AB=CD=0,5\left( m \right);$$EF=4\left( m \right);$ $OG=3\left( m \right)$, điểm $O$là trung điểm của $EF,$ đường cong $BGC$ là cung tròn có bán kính bằng $OG$ ( $G$là trung điểm của cung $BC$). Do đã sử dụng lâu năm nên lớp sơn tĩnh điện đã bị xuống cấp, bong tróc. Nhà trường muốn sơn làm mới lại cửa, giá thành để sơn và làm mới lại cửa là 300 nghìn đồng trên một ${{m}^{2}}$diện tích cửa. Hỏi nhà trường phải trả khoản tiền bằng bao nhiêu triệu đồng (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$sao cho điểm $O$là gốc toạ độ, điểm $E$thuộc tia $Ox$, điểm $G$thuộc tia $Oy$. ${{S}_{1}}$là diện tích hình chữ nhật $ADEF$, ${{S}_{2}}$là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung tròn $BC$và đường thẳng ${{S}_{1}}$là diện tích hình chữ nhật $BC$, $S$là diện tích hai cánh cửa.
Ta có $AF.EF=2,7.4=10,8\left( {{m}^{2}} \right)$. Cung tròn $BC$thuộc đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9,$suy ra cung $BC$thuộc đồ thị hàm số $y=\sqrt{9-{{x}^{2}}}$. Đường thẳng $BC$có phương trình: $y=2,7$. Vậy ${{S}_{2}}=\int_{-1,5}^{1,5}{\left| \sqrt{9-{{x}^{2}}}-2,7 \right|}dx=\int_{-1,5}^{1,5}{\left( \sqrt{9-{{x}^{2}}}-2,7 \right)}dx$.
Từ đó ta có: $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=10,8+$$\int_{-1,5}^{1,5}{\left( \sqrt{9-{{x}^{2}}}-2,7 \right)}dx$
Nên số tiền cần trả là $S.0,3\approx 3,39$(triệu đồng).
Câu 2. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC$, $ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc ${{60}^{\circ }}$ (Hình 4). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng ${{\vec{F}}_{1}},\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{{{F}_{3}}},\overrightarrow{{{F}_{4}}}$ đều có cường độ là $6000\sqrt{3}\,(N)$, trọng lượng của khung sắt là $2500\,(N)$ và gia tốc rơi tự do là $g=9,8\,(m/{{s}^{2}})$. Tính khối lượng của chiếc xe ô tô theo đơn vị kilogam (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{{{F}_{1}}},\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{{{F}_{3}}},\overrightarrow{EQ}=\overrightarrow{{{F}_{4}}}$.
Gọi $O$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$, ${E}’$ là điểm đối xứng của $E$ qua $O$.
Ta có: $\left| {{{\vec{F}}}_{1}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{2}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{3}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{4}} \right|=6000\sqrt{3}\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ N} \right)$ các mặt bên của hình chóp $E.MNPQ$ là tam giác cân bằng nhau.
Vì các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc ${{60}^{\circ }}$ nên các tam giác $\Delta MEP,\Delta NEQ$ là tam giác đều, bằng nhau.
Suy ra: $EO=\frac{EM\sqrt{3}}{2}=\frac{6000\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=9000\left( \text{ }\!\!~\!\!\text{ N} \right)$
Mặt khác: $\vec{P}=\left( \overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{3}}} \right)+\left( \overrightarrow{{{F}_{2}}}+\overrightarrow{{{F}_{4}}} \right)=\overrightarrow{E{E}’}+\overrightarrow{E{E}’}=2\overrightarrow{E{E}’}=4\overrightarrow{EO}$
Suy ra $\left| \overrightarrow{P} \right|=4\left| \overrightarrow{EO} \right|=4.9000=36000\,(N)$.
Vậy trọng lượng của chiếc xe là: ${{P}_{xe}}=P-{{P}_{khung}}=36000-2500=33500\,(N)$, suy ra khối lượng của chiếc xe là ${{m}_{xe}}=\frac{{{P}_{xe}}}{g}\approx 3418$ kg
Đáp án: 3418
Câu 3. Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $8m$, rộng $6m$ và cao $4m$có 2cây quạt treo tường. Cây quạt $A$ treo chính giữa bức tường $8m$và cách trần $1m$, cây quạt $B$ treo chính giữa bức tường $6m$và cách trần $1,5m$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$như hình vẽ bên dưới
( đơn vị: mét). Biết điểm $M\left( x;y;z \right)$ thuộc mặt phẳng chứa sàn nhà sao cho $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|$ là nhỏ nhất, tính ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$.
Từ hình vẽ: $A\in \left( Oxz \right)$ nên $A\left( x\,;\,0\,;\,z \right)$; $B\in \left( Oyz \right)$ nên $B\left( 0\,;\,y\,;\,z \right)$
Cây quạt $A$ treo chính giữa bức tường $8m$và cách trần $1m$ nên $A\left( 4\,;\,0\,;\,3 \right)$.
Cây quạt $B$ treo chính giữa bức tường $6m$và cách trần $1,5m$ nên $B\left( 0\,;\,3\,;\,\frac{5}{2} \right)$.
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 – a – 2(0 – a) = 0\\ 0 – b – 2(3 – b) = 0\\ 3 – c – 2(\frac{5}{2} – c) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 4\\ b = 6\\ c = 2 \end{array} \right.$
Suy ra $I\left( -4;6;2 \right)$, khi đó $\left| {\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} } \right|$ $ = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} – 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )} \right|$ $ = \left| { – \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} – 2\overrightarrow {IB} } \right| = MI$
Do vậy $\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất, mà $M\in (Oxy)$ nên $M$là hình chiếu của $I$ lên
$(Oxy)$.
$\Rightarrow M(-4;6;0)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=52$.
Đáp án: 52
Câu 4. Một đoàn tình nguyện đến một trường tiểu học miền núi để trao tặng 20 suất quà cho 10 em học sinh nghèo học giỏi. Trong 20 suất quà đó gồm 7 chiếc áo mùa đông, 9 thùng sữa tươi và 4 chiếc cặp sách. Tất cả các suất quà đều có giá trị tương đương nhau. Biết rằng mỗi em nhận 2 suất quà khác loại (ví dụ một chiếc áo và một thùng sữa tươi). Trong số các em nhận quà có hai em An và Bình. Tính xác suất để hai em đó nhận được suất quà giống nhau?
Lời giải
Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh nhận phần quà là (áo, sữa), (áo, cặp sách), (sữa; cặp sách). Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 7\\ x + z = 9\\ y + z = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 6\\ y = 1\\ z = 3 \end{array} \right.$
Xét phép thử: “Trao phần quà cho 10 học sinh”, suy ra $n\left( \Omega \right)=C_{10}^{6}.C_{4}^{1}.C_{3}^{3}=840.$
Xét biến cố A: “An và Bình có phần quà giống nhau”.
TH1: An và Bình cùng nhận (áo, sữa) có $C_{8}^{4}.C_{4}^{1}.C_{3}^{3}=280$
TH2: An và Bình cùng nhận sách (sữa; cặp sách) có $C_{8}^{1}.C_{7}^{1}.C_{6}^{6}=56.$
Suy ra $n\left( A \right)=280+56=336$.
Vậy xác suất cần tìm $P(A)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{336}{840}=\frac{2}{5}=0,4.$
Đáp án: 0,4
Câu 5. Số lượng loại vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s(t)=s(0){{.2}^{t}},$ trong đó $s(0)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s(t)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn $A$ là 20 triệu con?
Lời giải
Theo giả thiết ta có: $s(3)=625000\Leftrightarrow s(0){{.2}^{3}}=625000\Leftrightarrow s(0)=78125$.
Số lượng loại vi khuẩn $A$ là 20 triệu con khi
$\begin{array}{l} s(t) = 20000000\\ \Leftrightarrow s(0){.2^t} = 20000000\\ \Leftrightarrow {2^t} = \frac{{20000000}}{{s(0)}} = \frac{{20000000}}{{78125}} = 256\\ \Leftrightarrow t = 8 \end{array}$
Vậy, sau 8 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 20 triệu con.
Đáp án: 8
Câu 6. Người ta định đào một cái hầm có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có hai cạnh đáy là ${14 {~m}}$ và ${10 {~m}}$ (hình bên). Mặt bên tạo với đáy nhỏ thành một góc nhị diện có số đo bằng ${135^{\circ}}$. Tính số mét khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải
Ta có: ${O J=\frac{1}{2} .14=7 ; O^{\prime} K=\frac{1}{2} .10=5}$, suy ra ${O H=5, J H=7-5=2}$.
Mặt bên tạo với đáy nhỏ 1 góc ${\widehat{O^{\prime} K J}=135^{\circ}}$ nên ${\widehat{K J H}=45^{\circ}}$, ${K H=O O^{\prime}=J H \cdot \tan 45^{\circ}=2}$
Thể tích khối chóp cụt là: $V=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \left( {{10}^{2}}+\sqrt{{{10}^{2}}\cdot {{14}^{2}}}+{{14}^{2}} \right)\approx 291\left( {{m}^{3}} \right)$.
Đáp án: 291
Xem