Giải phương trình bậc 2

Để học tốt định lý viet thì bạn cần hiểu về lý thuyết cũng như cách giải phương trình bậc 2 một ẩn. Bởi vậy, bài viết này Toán Học sẽ hệ thống cho bạn những kiến thức trọng tâm cơ bản, những dạng toán thường gặp trong đề thi và đi kèm với mỗi dạng là các ví dụ có lời giải để bạn hiểu, nhớ lâu.

1. Lý thuyết trọng tâm

a) Phương trình bậc 2 một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

trong đó a, b, c là các so thực cho trước, x là ẩn số.

Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó

b) Công thức thức nghiệm của phương trình bậc hai

c) Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) với b = 2b’. Gọi biệt thức Δ’ = (b’)² – ac.

Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2b’ ta nên sử dụng để giải phương trình sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn.

d) Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau (Δ≥ 0 và S = 0
10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

 

2. Phân dạng bài tập phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc 2 một ẩn cho trước

Phương pháp giải: Ta có thế sử dụng một trong các cách sau:

• Cách 1. Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
• Cách 2. Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái một bình phương còn vế phải là một hằng số

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) 5x² – 7x = 0

b) – 3x² + 9 = 0

Lời giải

Theo đề bài

a) 5x² – 7x = 0 ⇔ x(5x – 7) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{7}{5} \end{array} \right.$

b) – 3x² + 9 = 0 ⇔ x² =  3 ⇔ x = ± $\sqrt 3 $

Dạng 2. Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 để giải.

a) Công thức nghiệm: Phương trình ax² + bx + c = 0  (a ≠ 0)  có  Δ = b²– 4ac

• Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  – \frac{b}{{2a}}$
• Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};\,{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta  }}{{2a}};\,$

b) Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có Δ‘=(b’)² – ac ( b  = 2b‘ )

• Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:  x₁ = x₂ = $\frac{{ – b}}{a}$
• Nếu Δ‘ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  x₁ = $\frac{{ – b + \sqrt {\Delta ‘} }}{a}$;    x₂ = $\frac{{ – b – \sqrt {\Delta ‘} }}{a}$

Ví dụ: Hãy giải phương trình bậc 2 sau

a) x² – 49x – 50 = 0

b) (2 – $\sqrt 3 $)x² + 2$\sqrt 3 $x – 2 – $\sqrt 3 $ = 0

Lời giải

a) x² – 49x – 50 = 0

Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = – 49; c = 50)

Δ = b² – 4ac = (- 49)²– 4.1.(- 50) = 2601

=> $\sqrt \Delta  $ = 51

Do Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• ${x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 49) – 51}}{2} =  – 1$
• ${x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ – ( – 49) + 51}}{2} = 50$

b) (2 – $\sqrt 3 $)x² + 2$\sqrt 3 $x – 2 – $\sqrt 3 $ = 0

Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2 – $\sqrt 3 $; b’ = $\sqrt 3 $; c = – 2 – $\sqrt 3 $)

Δ’ = ($\sqrt 3 $)² – (2 – $\sqrt 3 $)(– 2 –$\sqrt 3 $) = 4

=> $\sqrt \Delta $ = 2

Do Δ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• ${x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{a} = \frac{{ – \sqrt 3 + 2}}{{2 – \sqrt 3 }} = 1$
• ${x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{a} = \frac{{ – \sqrt 3 – 2}}{{2 – \sqrt 3 }} = – (7 + 4\sqrt 3 )$

Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm của phương trình dạng bậc hai

Phương pháp giải

Xét phương trình dạng bậc hai: ax² + bx + c = 0

Ví dụ: Cho phương trình mx² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có đúng một nghiệm

Lời giải

Sử dụng công thức thu gọn: Δ’ = b² – ac = (m – 1)² – m(m – 3) = m + 1

a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

$\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta ‘ > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m > – 1 \end{array} \right.$

b) Phương trình có nghiệm kép

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta ‘ = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m = – 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = – 1 \end{array}$

c) Phương trình bậc 2 này vô nghiệm khi

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta ‘ < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m + 1 < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m < – 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < – 1 \end{array}$

Kết luận: m < – 1

d) Phương trình bậc 2 trên có đúng 1 nghiệm khi: m = 0

=> 0.x² – 2(0 – 1)x + 0 – 3 = 0

⇔ 2x – 3 = 0

⇔ x = 3/2

Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai

Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.

Xét phương trình dạng bậc hai ax² + bx + c – 0 với ∆ = b² – 4ac (hoặc ∆’ = (b’)²– ac).

• Nếu a = 0, ta đưa vể biện luận phương trình bậc nhât.
• Nêu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo A.

Ví dụ: Giải và biện luận các phương trình sau: (ra là tham số).

a) x² + (1 – m)x- ra = 0

b) (m -3)x² – 2mx + m – 6 = 0

Lời giải

Dạng 5. Một sô bài toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc 2; Nghiệm chung của các phương trình dạng bậc 2; Hai phương trình dạng bậc hai tương đương

Phương pháp giải:
a) Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm ⇔ A > 0 (hoặc ∆’ ≥ 0).

b) Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax² + bx + c = 0 và a’x² + b’x + c’ = 0
có nghiệm chung, ta làm như sau:

• Bước 1. Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x₀ vào 2 phương trình để tìm được điều kiện
  của tham số
• Bước 2. Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có nghiệm
  chung hay không và kết luận.

c). Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai

• ax² +bx + c = 0
• a’x² +b’x + c’ = 0

tương đương, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Hai phương trình cùng vô nghiệm.

Trường hợp 2. Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:

• Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm được điều kiện
  của tham số.
• Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình tập
  nghiệm bằng nhau hay không và kết luận

Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b²x² – (b² +c² -a²)x + c² =0 luôn vô nghiệm.

Lời giải

Ví dụ 2. Cho phương trình x² +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm

Lời giải

Ví dụ 3. Cho hai phương trình x² + ax + b = 0 và x² + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì: (b – d)² +(a- c)(ad – bc) = 0

Lời giải

Ví dụ 4. Cho hai phương trình x² +ax + b = 0 và x² +bx + a = 0 trong đó $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}.$ Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Lời giải

3. Bài tập phương trình bậc 2 tự giải

Câu 1. Cho phương trình x² – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).

a) Giải phương trính (1) khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

Câu 2. Cho phương trình: ${{x}^{2}}-2(m+1)x+2m=0$ (1) (với ẩn là x).

a) Giải phương trình (1) khi m = 1.

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$. Tìm giá trị của m để ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{12}$.

Câu 3. Cho phương trình ${{\text{x}}^{\text{2}}}\text{- 2m – (}{{\text{m}}^{\text{2}}}\text{+ 4) = 0}$ (1), trong đó m là tham số.

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để $\text{x}_{\text{1}}^{\text{2}}\text{+ x}_{\text{2}}^{\text{2}}=20$.

Câu 4. Cho phương trình bậc hai: ${{x}^{2}}-mx+m-1=0\,\,\,(1)$

a) Giải phương trình (1) khi m = 4.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$thỏa mãn hệ thức : $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2011}$.

Câu 5. Cho phương trình x² – 2mx + m² – 1 =0 (x là ẩn, m là tham số).

a) Giải phương trình với m = – 1

b) Tìm tất cả các giá trị của m đê phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm tât cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁ , x₂ sao cho tổng P = (x₁)² + (x₂)² đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 6. Cho phương trình x² – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).

a) Giải phương trính (1) khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

Câu 7. Cho phương trình x² – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).

a) Giải phương trính (1) khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

Câu 8. Cho phương trình : ${{x}^{2}}-2(m+1)x+m-4=0 (1)$ ($m$là tham số).

a) Giải phương trình $\left( 1 \right)$ khi $m=4$.

b) Chứng tỏ rằng, với mọi giá trị của $m$ phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức $B={{x}_{1}}\left( 1-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{2}}\left( 1-{{x}_{1}} \right)$ không phụ thuộc vào $m$.