Tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điều của hàm số ta có 2 cách. Một là dựa vào định nghĩa đã được học ở lớp 10 và cách khác là dựa vào kiến thức đạo hàm đã học lớp 12.  Mỗi cách có những ưu thế riêng nên bài viết này sẽ nêu cả 2 cách để bạn tiện tham khảo.

Đây là kiến thức quan trọng, nó xuất hiện thường xuyên trong đề thi trung học phổ thông quốc gia nên toanhoc.org sẽ hệ thống bài bài từ lý thuyết tới phân dạng. Mỗi dạng sẽ có bài tập minh họa kèm lời giải để bạn dễ hiểu – nhớ lâu.

1. Lý thuyết xét tính đơn điệu

a) Định nghĩa

Một hàm số (C): y = f(x) có tập xác định là M. Nếu:

  • hàm số (C) gọi là nghịch biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M
  • hàm số (C) gọi là đồng biến trên M khi x1 > x2 ⇒ f(x1) < f(x2) với ∀x1, x2 ∈ M

b) Điều kiện

Một hàm số (C): y = f(x) có đạo hàm trên tập xác định M

tính đơn điệu của hàm số - toanhocorg

C. Những bước xét tính đơn điều của hàm số

Một hàm số (C): y = f(x) có tập xác định là M.

  • Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
  • Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.
  • Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

2. Bài tập

Dạng 1. Dựa vào định nghĩa

Lớp 10, học sinh thường dựa vào vào định nghĩa để xét tìm khoảng đơn điệu của hàm số. Đây là cách tương đối đơn giản. Dưới đây là 2 bài tập minh họa

Bài tập 1: Hãy chứng minh hàm số (C): y = x2 – 4 đồng biến trong khoảng ( 3; 10)

Hướng dẫn giải

Giả sử a và b là 2 giá trị bất kì thuộc (3; 10), khi đó 3 < a < b < 10 (1)

  • f(a) = a2 – 4
  • f(b) = b2 – 4

Ta thấy: f(b) – f(a) = ( b2 – 4) – (a2 – 4) = b2 – a2 = (b – a).(a + b) > 0 ⇒ f(b) > f(a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số y = x2 – 4 đồng biến trong khoảng ( 3; 10).

Bài tập 2. Hãy chứng minh hàm số (C): y = – x2 + 4 nghịch biến trong khoảng ( 3; 10)

Hướng dẫn giải

Giả sử a và b là 2 giá trị bất kì thuộc (3; 10), khi đó 3 < a < b < 10 (1)

  • f(a) = – a2 + 4
  • f(b) = – b2 + 4

Ta thấy: f(b) – f(a) = ( – b2 + 4) – (- a2 + 4) = – b2 + a2 = – (b – a).(a + b) > 0 ⇒ f(b) < f(a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số y = – x2 + 4 nghịch biến trong khoảng ( 3; 10).

Dạng 2. Dựa vào đạo hàm

Dựa vào kiến thức đạo hàm ở lớp 11 ta dùng giải các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số thuộc phần ứng dụng hàm số của lớp 12. Nó gồm 3 bước nêu trong phần lý thuyết. Dưới đây là bài tập minh họa.

Bài tập 3. Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{1 – x}}$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y’ = \frac{2}{{{{(1 – x)}^2}}} > 0{\text{, }}\forall x \ne 1$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $( – \infty ;1)$và $(1; + \infty )$

Bài tập 4. Cho hàm số $y = – {x^3} + 3{x^2} – 3x + 2$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

D. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có $y’ = – 3{x^2} + 6x – 3 = – 3{(x – 1)^2} \leqslant 0{\text{ , }}\forall x \in \mathbb{R}$

Bài tập 5. Cho hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{ – 4 + 2x}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\,2} \right)$và $\left( {2; + \infty } \right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\, – 2} \right)$ và$\left( { – 2; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. Ta có$y’ = – \frac{{10}}{{{{( – 4 + 2x)}^2}}} < 0,\forall x \in D$.

Bài tập 6. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 9x + 15$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 3;1} \right)$.

B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

C. Hàm số đồng biến trên $\left( { – 9; – 5} \right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {5; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

TXĐ: ${\text{D}} = \mathbb{R}$. Do $y’ = 3{x^2} + 6x – 9 = 3(x – 1)(x + 3)$ nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài tập 7 (Trích câu 3 đề thi minh họa 2021). Câu 3. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào,trong các khoảng dưới đây?

tính đơn điệu của hàm số

A. ( – 2; 2).

B. ( 0; 2).

C. ( – 2; 0).

D. ( 2; + ∞).

Hướng dẫn giải

Chọn câu B

Ta thấy trên (0;2) thì f’(x) và mũi tên có chiều hướng lên

Bài tập 8 (Trích câu 30 đề thi minh họa 2021). Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R?

A.$y=\frac{x+1}{x-2}$.

B.$y={{x}^{2}}+2x$.

C.$y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x$.

D.$y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2$.

Hướng dẫn giải

Chọn câu C

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ trước hết phải có tập xác định $D=\mathbb{R},$ loại câu A,xét các câu khác.

Chỉ có $({{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x{)}’=3{{x}^{2}}-2x+1>0,\forall x$ nên $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Hy vọng với bài viết chi tiết bạn đã hiểu sâu dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số. Nếu có chỗ nào trong bài viết chưa rõ khiến bạn còn thắc mắc thì hãy comment bên dưới để toanhoc.org giải đáp. Đừng quên quay lại Toán Học để xem các chủ để bổ ích tiếp theo nhé.

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *