Công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng

posted in: Ôn thi đại học, Toán 12 | 0

Để tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian OXYZ chúng ta có nhiều cách, bài viết này giới thiệu với bạn 1 cách ngắn gọn, giúp tăng tốc giải trắc nghiệm

góc giữa 2 mặt phẳng

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử ta biết phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 và phương trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + D = 0

  • Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( a; b; c)
  • Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} $ = ( A; B; C)

Khi biết vecto pháp tuyến của của hai mp thì ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng:

$\begin{array}{l} \cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} \end{array}$

Với ( 00 ≤ φ ≤ 900 )

Bài tập có lời giải

Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, có hai mặt phẳng với phương trình lần lượt là (P): 2x – 5y – 3z + 1 = 0 và (Q): – 3x + y – 2z – 7 =0. Hãy xác định góc giữa mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P): 2x – 5y – 3z + 1 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( 2; -5; -3 )

Mặt phẳng (Q): – 3x + y – 2z – 7 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( – 3; 1; – 2 )

Gọi φ là góc giữa 2 mặt phẳng này, nó được xác định theo công thức

$\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left| {2.\left( { – 3} \right) + \left( { – 5} \right).1 + \left( { – 3} \right).\left( { – 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( { – 5} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {133} }}{{38}} \end{array}$

=> φ = 72,330

Bài tập 2. Cho hai mặt phẳng (P): – 2x + y – 3z – 10 = 0 và (Q): x + y – z = 7 nằm trong không gian tọa độ Oxyz. Gọi φ là góc tạo bởi giữa hai mặt phẳng này. Tìm cosφ

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P): – 2x + y – 3z – 10 = 0 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( -2; 1; – 3 )

Mặt phẳng (Q): x + y – z = 7 => Vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} $ = ( 1; 1; – 1 )

$\begin{array}{*{20}{l}} {\cos \varphi = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}}\\ {{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = \frac{{\left| {\left( { – 2} \right).1 + 1.1 + \left( { – 3} \right).\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {42} }}{{21}}} \end{array}$

Với hướng dẫn chi tiết ở trên, toanhoc.org hy vọng giúp bạn biết cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình học không gian Oxyz.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *