Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz ta có 2 cách. 1 cách bạn được học trong hình học không gian lớp 11 và 1 cách bạn được học ở hình học không gian tọa độ lớp 12. Tùy theo dữ kiện bài toán cho mà ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết của 2 cách và bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Định nghĩa

Gọi a’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng (Q), góc φ được tạo bởi giữa hai đường thẳng a và a’ chính là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

  • Nếu a ⊥ (Q) thì $\widehat {\left( {a,\left( Q \right)} \right)}$ = 900.
  • Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $\widehat {\left( {a,\left( Q \right)} \right)}$ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 11

Để xác định được góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a thì ta làm như sau:

  • Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
  • Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)
  • Bước 3: Góc \(\widehat {AOA’} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (Q) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (Q) khi đó AA’ // b.

Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA’

2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Công thức: $sin\varphi = \sin \left( {\widehat {a,(Q)}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|}}$

Trong đó:

  • ${\overrightarrow n }$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
  • ${\overrightarrow u }$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu như VTPT của (Q): ${\overrightarrow n }$ = ( A; B; C) và VTCP của a: ${\overrightarrow u }$ = ( a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

\[sin\varphi = \frac{{\left| {A.a + B.b + C.c} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} (*)\]

B. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho đường thẳng a: $\frac{{x + 1}}{{ – 3}} = \frac{{y + 5}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}$ và mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

  • đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$  = ( – 3; 1; 2)
  • mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$  = ( 1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$sin\varphi = \frac{{\left| {1.\left( { – 3} \right) + \left( { – 2} \right).1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}$

Kết luận: φ ≈ 190.

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz có đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\\ {y = 1 – 2t}\\ {z = – 3 + t} \end{array}} \right.$ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

  • đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$  = ( – 1; – 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$  = ( – 1; 1; – 2)

Áp dụng công thức (*):

$sin\varphi = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).\left( { – 1} \right) + 1.\left( { – 2} \right) + \left( { – 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$

Kết luận: φ = 300.

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz có 1 đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 – mt\\ y = 1 – 2t\\ z = – 3 + t \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

  • đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$  = ( – m; – 2; 1)
  • mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$  = ( – 1; 1; – 2)
  • $\widehat {a,(Q)} = {30^0}$ $ \Rightarrow \sin \left( {\widehat {a,(Q)}} \right)$$ = \sin \left( {{{30}^0}} \right) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức (*):

$\frac{1}{2} = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).\left( { – m} \right) + 1.\left( { – 2} \right) + \left( { – 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – m} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {m – 4} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 5} }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = – 17 \end{array} \right.$

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *