Các dạng phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Nếu bạn biết được phương trình mặt phẳng bạn sẽ có thêm nhiều dữ kiện để giải như: vecto pháp tuyến, vecto chỉ phương, …. Dựa vào đây ta có tìm được khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng,…

phương trình mặt phẳng

1. Những khái niệm cơ bản về phương trình của mặt phẳng

Dưới đây là những kiến thức cơ bản bạn cần phải biết

1.1 Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa: Nếu 1 vecto $\vec n \ne \vec 0$ bất kì mà có giá của nó vuông góc với mặt phẳng (α) cho trước thì ta nói $\vec n$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Theo định nghĩa trên thì 1 mặt phẳng sẽ có vô số vecto pháp tuyến (VTCP), tổng quát là: $k\vec n$

1.2 Vecto chỉ phương của mặt phẳng

Định nghĩa: Nếu 1 vecto $\vec u \ne \vec 0$ bất kì mà có giá của nó nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (α) cho trước thì ta nói $\vec u$ là vecto chỉ phương của mặt phẳng (α).

Theo định nghĩa trên thì 1 mặt phẳng sẽ có vô số vecto chỉ phương (VTCP), tổng quát là: $k\vec u$

1.3 Mối liên hệ $\vec u$ và  $\vec n$

Giống như trong đường thẳng, trong mặt phẳng có VTPT và VTCP luôn vuông góc với nhau: ($\widehat {\overrightarrow n ,\overrightarrow u }$) = 900.

2 Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Giả sử một điểm M( x0; y0) thuộc mặt phẳng (α), biết rằng vecto pháp tuyến của (α): $\vec n$α = ( a; b; c)

2.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 (*)

Khi a2 + b2 + c2 > 0 thì (*) thành: ax + by + cz + d = 0 (**) với d = – ( ax0 + by0 + cz0)

Một số trường hợp đặc biệt:

  • Nếu M ( 0; 0; 0) => d = 0 thì ax + by + cz = 0 thì O ∈ (α)
  • Nếu a = 0 thì by + cz + d = 0 thì (α) ⊥ Ox
  • Nếu b = 0 thì ax + cz + d = 0 thì (α) ⊥ Oy
  • Nếu c = 0 thì ax + by + d = 0 thì (α) ⊥ Oz

2.2 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Nếu 3 điểm A(a; 0; 0), B( 0; b; 0), C (0; 0; c) cùng thuộc mặt phẳng (α) thì phương trình mp (α): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0$ với a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0.

3. Những bài toán thường gặp

Trong không gian Oxyz có mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = 0 và mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0. Ta thấy:

  • Vecto pháp tuyến mặt phẳng (α): ${\overrightarrow {{n_\alpha }} }$ = ( a; b; c)
  • Vecto pháp tuyến mặt phẳng (β): ${\overrightarrow {{n_\beta }} }$ = ( A; B; C)

3.1 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

  • ${\overrightarrow {{n_\alpha }} }$ ≠ k${\overrightarrow {{n_\beta }} }$: (α) cắt (β)
  • $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_\alpha }} = k\overrightarrow {{n_\beta }} \\ D \ne kD’ \end{array} \right.$: (α) // (β)
  • $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{n_\alpha }} = k\overrightarrow {{n_\beta }} \\ D = kD’ \end{array} \right.$: (α) ≡ (β)
  • $\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 0$: (α) ⊥ (β)

Nếu như A.B.C.D ≠ 0

  • $\frac{a}{A} \ne \frac{b}{B}$  hoặc $\frac{b}{B} \ne \frac{c}{C}$ hoặc $\frac{a}{A} \ne \frac{c}{C}$ thì (α) cắt (β)
  • $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} \ne \frac{d}{D}$ thì (α) // (β)
  • $\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{d}{D}$ thì (α) ≡ (β)
  • a.A + b.B + c.C = 0 thì (α) ⊥ (β)

3.2 Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian oxyz

Góc tạo bởi hai mặt phẳng (α) và (β):

$\begin{array}{l} cos\varphi = \cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\\ \,\, = \frac{{\left| {a.A + b.B + c.C} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{{\left( A \right)}^2} + {{\left( B \right)}^2} + {{\left( C \right)}^2}} }} \end{array}$

Góc tạo bởi hai mặt phẳng φ luôn thỏa mãn: 00 ≤ φ ≤ 900 hay 1 ≤ cosφ ≤ 1

3.3 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M( x0; y0) đến (α): ax + by + cz + d = 0 là

d(M, (α)) = $\frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$ (2.4.1)

Từ (2.4.1) cho ta thấy M ∈ (α) => d(M, (α)) = 0

Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *