Hàm số liên tục

Hàm số liên tục và các dạng bài tập thường gặp

Hàm số liên tục còn được hiểu là xét tính liên tục của hàm số, đây là một một chủ để quan trọng thuộc toán lớp 11 bậc trung học phổ thông. Là kiến thức căn bản để bạn học tốt chủ đề hàm số. Bài viết này sẽ tóm lược những lý thuyết trọng tâm cần nhớ đồng thời phân dạng bài tập chi tiết giúp bạn rèn luyện kĩ năng giải bài tập hàm số liên tục.

1. Lý thuyết hàm số liên tục

1.1 Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục là gì?

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x ∈ (a; b) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Nếu tại điểm x hàm số y = f(x) không liên tục, thì được gọi là gián đoạn tại x và điểm x được gọi là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x).

Xem thêm:  Hai mặt phẳng song song với nhau

Nhận xét. Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x nếu ba điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

  • f(x) xác định tại x.
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ tồn tại.
  • $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ = f(x)

Hàm số y = f(x) gián đoạn tại điểm x nếu có ít nhất 1 trong 3 điều kiện trên không thỏa mãn. Nếu sử dụng giới hạn một bên thì:

Hàm số liên tục tại một điểm

Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = (x) xác định trên (a; b). Giả sử x và x (x ≠ x) là hai phần tử của (a; b)

Hiệu x−x, ký hiệu: ∆x, được gọi là số gia của đối số tại điểm x. Ta có: ∆x = x−x ⇔ x = x+∆x.

Hiệu y − y, ký hiệu: ∆y, được gọi là số gia tương ứng của hàm số tại điểm x. Ta có: ∆y = y − y = f(x) − f(x) = f(x + ∆x) − f(x).

Đặc trưng: dùng khái niệm số gia, ta có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x như sau:

Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm

1.2 Hàm số liên tục trên một khoảng

  1. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mỗi điểm của khoảng đó.
  2. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó:

Hàm số liên tục trên một khoảng

1.3 Các định lý về hàm số liên tục

Đặc trưng khác của tính liên tục tại một điểm

Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu số khác 0) của các hàm số liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x. Khi đó:

  • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x
  • Hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục tại x nếu g(x) = 0
Xem thêm:  Công thức tính tổng cấp số nhân

Định lí 3. Các hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác là liên tục trên tập xác định của nó.

Các định lý về hàm số liên tục

2. Phân dạng hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm -

Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng I, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn.
  • Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao.
  • Bước 3: Kết luận

Dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh

Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm trong [a, b] , ta thực hiện theo các bước sau

 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng min

Dạng 5. Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số

Sử dụng kết quả : “Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không triệt tiêu trên đoạn [a; b] thì có dấu nhất định trên khoảng (a; b)”

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1:

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Lời giải

Dựa vào dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Hàm số xác định với mọi x ∈ R

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Bài tập 2. Cho hàm số

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Lời giải

Dựa vào dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Bài tập 3. Chứng minh hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {8 – 2{x^2}} $ liên tục trên đoạn [ -2; 2]

Xem thêm:  các bài toán xác suất hay và khó

Lời giải

Dự vào dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Hàm số liên tục trên đoạn [−2; 2]

Với x ∈ (−2; 2), ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {8 – 2{x^2}} = \sqrt {8 – 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy, hàm số liên tục trên khoảng (−2; 2).

Ngoài ra, sử dụng giới hạn một bên ta chứng minh được:

  • Hàm số f(x) liên tục phải tại điểm x = −2.
  • Hàm số f(x) liên tục trái tại điểm x = 2.
  • Vậy, hàm số liên tục trên đoạn [−2; 2].

Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (−1; 1)

Lời giải

Dựa vào dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh

Xét hàm số f(x) = x5 + x − 1 liên tục trên R ta có :f(−1).f(1) = −3.1 = −3 < 0

Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiện trong khoảng (−1; 1)

Bài tập 5. Xét dấu hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} – \sqrt {1 – 2x} $

Lời giải

Dựa theo dạng 5: Sử dụng tính liên tục của hàm số để xét dấu hàm số

Ta làm như sau: Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-4; 0,5] . Giải phương trình f(x) = 0. Ta có:

tính liên tục của hàm số

Bài viết về hàm số liên tục và các dạng bài tập hàm số liên tục thường gặp tạm dừng tại đây. Mọi thắc mắc vui lòng để lại bình luận bên dưới để Toán Học giải đáp bạn rõ hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả,

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *