Công thức tích phân từng phần và 4 dạng toán liên quan

posted in: Toán 12 | 0

Khi luyện đề, rất nhiều bạn mới ngộ ra có nhiều bài tập tích phân chỉ cần sử dụng công thức tích phân căn bản là ra, nhưng nhiều bài áp dụng hoài không ra. Đúng vậy, muốn giải nó bạn cần phải có một phương pháp hiệu quả. Hôm nay, ToanHoc sẽ giới thiệu với bạn phương pháp tích phân từng phần khá hiệu quả, nó dựa trên tích phân cơ bản được học ở bài trước (nên xem lại). Chúng ta cùng nhau bắt đầu vào bài viết này

1. Công thức tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần

công thức tích phân từng phần

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Dựa theo nội dung học từ sách giáo khoa, câu trắc nghiệm trong đề thi chính thức của BGD&ĐT mà bài viết này chia tích phân từng phần thành 4 dạng quan trọng sau đây:

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit

Tính tích phân $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} $ ( Trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 2 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

phương pháp tích phân từng phần

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ

Tính tích phân $\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} {\rm{ }}$ (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 2 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

cách tính tích phân từng phần

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính tích phân $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} $ hoặc $\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} $. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 3 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

tính tích phân từng phần

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính tích phân $\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} $ hoặc $\int\limits_m^n {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} $

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 4 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

công thức tính tích phân từng phần

– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.

– Ở bước 1, ta cũng có thể đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {e^{ax + b}}}\\ {dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx} \end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {e^{ax + b}}}\\ {dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx} \end{array}} \right.$

3. Ví dụ

Hãy tính tích phân sau

a) $I = \int\limits_0^1 {\left( {x – 2} \right){e^{2x}}dx} $

b) $I = \int\limits_0^1 {{x^3}{e^{{x^2}}}dx} $

c) $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}c{\rm{osxdx}}} $

d) $I = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} $

Lời giải

a)

Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x – 2\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.$ .

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phân, ta có :
$\begin{array}{l} I = \frac{1}{2}\left( {x – 2} \right){e^{2x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} – \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} } \right.\\ = \frac{1}{2}\left( { – {e^2} + 2} \right) – \frac{1}{4}{e^{2x}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \frac{{5 – 3{e^2}}}{4}} \right. \end{array}$

b)

Ta đặt $t = {x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} dt = 2xdx;x = 0 \to t = 0,x = 1 \to t = 1\\ f(x)dx = t{e^t}dt \end{array} \right.$

Do đó: $\begin{array}{l} I = \int\limits_0^1 {t.{e^t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {t.d\left( {{e^t}} \right)} \\ = \frac{1}{2}\left( {t.{e^t} – {e^t}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array} = \frac{1}{2}} \right. \end{array}$

c)

Ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = c{\rm{osxdx}} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ {\rm{v = sinx}} \end{array} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l} I = {x^2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{2}}\\ 0 \end{array} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2x.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxdx}}} } \right.\\ = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.d\left( {c{\rm{osx}}} \right)} \\ = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + \left( {x.c{\rm{osx}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{2}}\\ {\rm{0}} \end{array} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {c{\rm{osxdx}}} } \right.} \right)\\ = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + \left( {0 – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{2}}\\ {\rm{0}} \end{array}} \right.} \right) = \frac{{{\pi ^2} – 4}}{4} \end{array}$

d)

$\begin{array}{l} \int\limits_1^2 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}dx} = – \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{x} + \int\limits_1^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \\ = \ln 2 – \frac{{\ln 3}}{2} + \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \ln 2 – \frac{{\ln 3}}{2} + \ln \left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right.\\ = \ln 2 – \frac{{\ln 3}}{2} – \ln 3\\ = \frac{{\ln 2 – 3\ln 3}}{2} \end{array}$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *