Dựa vào các công thức tích phân đã được học thì việc giải những bài tập ứng dụng tích phân tính diện tích của hình phẳng trở lên đơn giản. Vậy tích phân có ứng dụng như thế nào? Nó kế thừa những gì từ bộ công thức đã học? …. Câu trả lời sẽ có ngay sau đây, chúng ta cùng nhau tìm hiểu
1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$
1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định:
1.3 Chú ý
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|$
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
- Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d).
- Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$ $ = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx + \int\limits_c^d {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx + \int\limits_d^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
- Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
- Hai đường thẳng x = c, x = d.
- Lúc này: $S = \int\limits_c^d {\left| {g\left( x \right) – h\left( x \right)} \right|} dx$
2. Bài tập ứng dụng tích phân
Câu 1. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {2{x^2} – 2x – 4} \right)\,{\text{d}}x} $.
B. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2x + 2} \right)\,{\text{d}}x} $.
C. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {2x – 2} \right)\,{\text{d}}x} $.
D. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)\,{\text{d}}x} $.
Lời giải
Ta thấy: $\forall x \in \left[ { – 1;2} \right]$ : $ – {x^2} + 3 \geqslant {x^2} – 2x – 1$ nên
$\begin{gathered} S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left[ {\left( { – {x^2} + 3} \right) – \left( {{x^2} – 2x – 1} \right)} \right]} \,{\text{d}}x \hfill \\ = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)} \,{\text{d}}x \hfill \\ \end{gathered} $
Đáp án là D.
Câu 2. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \sqrt 3 {x^2}$, cung tròn có phương trình $y = \sqrt {4 – {x^2}} $ (với 0 ≤ x ≤ 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A. $\frac{{4\pi + \sqrt 3 }}{{12}}$.
B. $\frac{{4\pi – \sqrt 3 }}{6}$.
C. $\frac{{4\pi + 2\sqrt 3 – 3}}{6}$.
D. $\frac{{5\sqrt 3 – 2\pi }}{3}$.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $y = \sqrt 3 {x^2}$ và cung tròn $y = \sqrt {4 – {x^2}} $ (với $0 \leqslant x \leqslant 2$) là
$\begin{array}{l} \sqrt {4 – {x^2}} = \sqrt 3 {x^2}\\ \Leftrightarrow 4 – {x^2} = 3{x^4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1\\ {x^2} = – \frac{4}{3} \end{array} \right. \end{array}$
<=>x = 1 vì 0 ≤ x ≤ 2
Chọn đáp án B.
Câu 3. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = – 1; x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt $a = \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right){\text{d}}x} $, $b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\text{d}}x} $, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. S = b – a.
B. S = b + a.
C. S = – b + a.
D. S = – b – a.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\text{d}}x} $$ = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\text{d}}x} + \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\text{d}}x} $ $ = – \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right){\text{d}}x} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\text{d}}x} $= – b + a
Phân tích phương án nhiễu:
- Học sinh dễ nhìn đồ thị mà nhầm tưởng S = b + a nên Chọn B.
- Còn nếu Chọn C. hoặc D. thi nhầm dấu.
